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Die Suche nach dem optimalen Kompromiß bei Planungskonflikten läßt sich am Beispiel der Vektor-Optimierung darstellen Zielkonflikte in der Unternehmensplanung

Unternehmerische Zielsetzungen sind vielschichtig. Sie sind nicht nur gewinnorientiert, in zunehmendem Maße sind sie von Zielkonflikten geprägt: Umsatzmaximierung, möglichst hoher Cash-flow, maximale Rendite, Sicherung von Arbeitsplätzen. Man kann solchen Konflikten aus dem Weg gehen, indem man alles unternimmt, sie nicht erst entstehen zu lassen: durch Fixierung auf ein festgesetztes Ziel. Der Autor meint, daß der, der davon überzeugt ist, daß Ziel- und Interessenkonflikte neben ihren negativen und hemmenden Begleiterscheinungen auch positive Wirkungen auf Dynamik und Kreativität im Unternehmen haben, versuchen wird anstelle der ängstlichen Vermeidungstaktik , vorhandene Konflikte als gegeben hinzunehmen, sogar zu begrüßen oder zu initiieren und ihre Überwindung konstruktiv zu betreiben.
aus Harvard Business manager 3/1980

THOMAS LAUKAMM ist Unternehmensberater bei Arthur D. Little International, Wiesbaden. Er promovierte zum Thema "Kollektiventscheidung bei mehrfacher Zielsetzung" und entwickelte zu diesem Komplex ein computergestütztes Entscheidungssystem.

Die Lösung eines Zielkonfliktes ist der Kompromiß. Doch wo ist er zu finden? Gibt es Methoden einer systematischen Konfliktüberwindung? Zumindest für eine Problemklasse soll im folgenden eine Lösungsmethode präsentiert werden: für quantifizierbare Zielkonflikte. Und diese sind in einer Unternehmung nicht selten. Man denke nur an unterschiedliche Zielvorstellungen bei Investitionsvorhaben, Produktionsplanung, Budgetierung bis hin zu Tarifverhandlungen mit Arbeitnehmerorganisationen. Zur Überwindung solcher Konflikte wurde in den letzten Jahren die Vektor-Optimierung entwickelt. Im Gegensatz zu den Techniken der traditionellen linearen Programmierung können mit der Vektor-Optimierung nicht nur eine, sondern gleichzeitig mehrere Zielvorgaben berücksichtigt werden. Die Optimierung erfolgt dabei im Sinne eines optimalen Kompromisses. Das im folgenden grob skizzierte Instrumentarium soll zeigen: Zielkonflikte in der Planung eines Unternehmens stellen keine unüberwindbare Barriere mehr dar. Für quantitativ erfaßbare Zielkonflikte stehen Methoden zur Verfügung, mit denen man konstruktiv und zielstrebig zu einem für alle Seiten tragbaren Kompromiß gelangt.

Durch Dialog zum Kompromiß

Wie sieht ein effizienter Weg aus, aus der Fülle möglicher Kompromißlösungen diejenigen herauszufiltern, die es wert sind, näher unter die Lupe genommen und diskutiert zu werden? Zunächst einmal muß das Entscheidungsfeld eingegrenzt werden. Das geschieht, wie üblich, in der linearen Programmierung, durch die Formulierung von linearen Gleichungen und Ungleichungen, die die Restriktionen des Entscheidungsproblems (Kapazität, Absatz) oder feste Zielvorgaben der Entscheidungsträger widerspiegeln. Die Methode der Vektor-Optimierung sucht aus diesem eingegrenzten Entscheidungsfeld Lösungsalternativen heraus, die möglichst nahe der nicht zu realisierenden Ideallösung liegen und die außerdem einen "fairen" Kompromiß darstellen. Die Annäherung an die Ideallösung erfolgt durch eine mathematische Abstandsminimierung. Bei der Auswahl eines "fairen" Kompromisses sind dann die Präferenzen der Entscheidungsträger ausschlaggebend.

Die Suche nach einer optimalen Kompromißlösung kann also sinnvollerweise nur auf dem Wege einer wechselseitigen Beziehung zwischen mathematischem Optimierungsverfahren einerseits und der Präferenzstruktur des Managements andererseits erfolgen: Dazu wird ein solches Verfahren der Vektor-Optimierung auf einer Rechenanlage gespeichert und korrespondiert mittels eines Terminals, vorzugsweise Bildschirmgeräten. Wie ein solcher interaktiver Mensch-Maschine-Dialog zur Zielkonfliktüberwindung ablaufen kann, soll an einem Beispiel demonstriert werden.

Ein vereinfachtes Beispiel

Ein Unternehmen steht im Rahmen seiner strategischen Planung vor einem Problem der Produktplanung: Ein bereits alterndes Produkt soll durch zwei neue Produkte - a und b - ersetzt werden. Das aktuelle Entscheidungsproblem für den Vorstand des Unternehmens liegt darin, eine optimale Produktionsaufteilung zwischen den beiden neuen Produkten zu finden. Produkt a wirft einen Gewinn von 400 DM ab, b einen Gewinn von 100 DM je Stück. Vorstandsmitglied X hat das Ziel, den Jahresgewinn des Unternehmens zu maximieren und formuliert seine Zielfunktion als Zx: "Maximiere 400 a + 100 b". Vorstandsmitglied Y ist der Meinung, daß es strategisch wichtiger wäre, zunächst auf Wachstum zu setzen und den Gesamtabsatz aus beiden Produkten zu maximieren. Seine Zielfunktion lautet Zy: "Maximiere a + b". Arbeitsdirektor Z schließlich ist darauf bedacht, möglichst viele Arbeitsplätze für die Zukunft zu sichern. Bei einer Fertigung der neuen Produkte werden von Produkt b sechs Arbeitsplätze gesichert und von Produkt a ein Arbeitsplatz, und zwar jeweils je 100 produzierter Einheiten. Die Zielfunktion von Z lautet daher Zz: "Maximiere 1 a + 6 b". Zwischen den Vorstandsmitgliedern X, Y und Z besteht Einigkeit darüber, daß alle drei Zielrichtungen verfolgt werden sollen und man daher zu einem gewissen Kompromiß gezwungen ist. Bekannt sind weiterhin die Absatzhöchstmengen, nämlich 13 000 Stück von a und 11 000 Stück von b. Die technische Produktionskapazität kann derzeitig nicht verändert werden und reicht aus, um entweder 16 200 Stück von a zu produzieren oder aber 20 250 Stück von b. Auch die Rohstoffbeschaffung stellt einen Engpaß dar. Die pro Monat zur Verfügung stehende Rohstoffmenge reicht für eine Produktion von 36 000 Stück a oder für 12 000 Stück b. Abbildung 1 zeigt das aus diesen Daten resultierende Entscheidungsfeld sowie die drei divergierenden Zielfunktionen Zx, Zy und Zz. Alle im schraffierten Feld liegenden Produktionskombinationen sind realisierbar. Aus diesen circa 119 Millionen Alternativen gilt es nun, die optimale herauszufinden. Zunächst muß diese große Zahl an möglichen Lösungen drastisch verringert werden auf ein zu bewältigendes Ausmaß. Offensichtlich scheiden schon einmal alle Alternativen aus, die nicht auf dem oberen Rand zwischen A und E liegen. Denn sie können nicht optimal sein. Betrachtet man zum Beispiel die Lösung Lo: Sie ist irrelevant, weil sie von einer großen Zahl von Alternativen übertroffen wird, die qualitativ wesentlich besser sind, ohne daß sie dabei den Rahmen des Möglichen sprengen; das sind alle Lösungen, die rechts oben von Lo innerhalb des Entscheidungsfeldes liegen. Grundsätzlich sind also in diesem Beispiel nur Alternativen von Interesse, die auf dem Streckenzug A bis E liegen; diese Lösungen werden nicht von anderen dominiert.

Aber auch diese Menge potentieller Lösungen kann noch weiter eingeschränkt werden. Für Vorstandsmitglied X liegt das Optimum im Punkt D, für Y in C und für Z im Punkt B. Denn wie aus Abbildung 1 zu ersehen, erreicht jede der drei Zielfunktionen in einem dieser Eckpunkte jeweils den für sie höchstmöglichen Wert. Eine Kompromißlösung kann sinnvollerweise also nur zwischen B und D liegen. Damit hat sich die mögliche Alternativmenge bereits auf ca. 10 000 Alternativen reduziert. Der Spielraum für einen möglichen Kompromiß ist durch die Daten charakterisiert, die in Tabelle 1 aufgeführt sind. Somit wird eine Kompromißlösung nur zwischen 2,3 Mio. und 5,6 Mio. DM Gewinn, zwischen 370 und 690 Arbeitsplätzen und 14 000 und 18 000 Produkteinheiten zu finden sein (Tabelle 2).

Die Vorstandsmitglieder könnten jetzt versucht sein, intuitiv einen Kompromiß zu erreichen, zum Beispiel folgenden: Hälftige Aufteilung der Produktion, 8000 Stück a und 8000 Stück b, woraus ein Gewinn von 4 Mio. DM resultiert sowie die Erhaltung von 560 Arbeitsplätzen. Dieser Kompromiß liegt bezüglich der Zielvorstellungen im Absatz und im Gewinn genau in der Mitte zwischen minimal und maximal zu erwartenden Werten, bei der Arbeitsplatzzahl sogar deutlich darüber. Dieser Kompromiß erscheint also fair, tragbar für alle Beteiligten. In der Praxis werden häufig auf diesem Wege Kompromisse geschlossen. Es soll im folgenden jedoch gezeigt werden, daß durch den Einsatz der Vektoroptimierung ein für alle Seiten wesentlich besseres Ergebnis zu erreichen ist.

Das Optimierungsverfahren

Wie sieht ein derartiger Optimierungsprozeß praktisch aus? Auf einer Rechenanlage ist ein Lösungsverfahren zur Vektor-Optimierung gespeichert (zum Beispiel Step Method). Die Entscheidungsträger, in unserem Beispiel die Vorstandsmitglieder, geben in den Rechner alle Daten ihrer Zielfunktionen und der Nebenbedingungen für Produktion, Absatz und so weiter ein. Das Rechenprogramm berechnet den relevanten Handlungsspielraum für eine mögliche Kompromißlösung wie in Tabelle 1. Zusätzlich wird eine erste Kompromißlösung bereits errechnet und erscheint auf dem Bildschirmterminal des Computers: 1. Lösung (L1 in Abbildung 2) Produktion a - 11 000 Stück Produktion b - 6 500 Stück Gesamt - 17 500 Stück Gewinn - 5,05 Mio. DM Arbeitsplätze - 500 Arbeiter

Ebenfalls auf dem Bildschirm erscheinen die Fragen: a) Sind Sie mit dieser Lösung einverstanden? b) Wenn nicht, welcher Zielwert ist nicht zufriedenstellend? Nehmen wir an, der Vorstand akzeptiert die erste Lösung nicht, vor allem wegen der geringen Zahl an Arbeitsplätzen. Es wird eine Arbeitsplatzzahl von 660 gewünscht und in den Computer eingegeben. Das Rechenprogramm errechnet eine neue Lösung und präsentiert diese auf dem Bildschirm: 2. Lösung (L2 in Abbildung 2) Produktion a - 6 000 Stück Produktion b - 10 000 Stück Gesamt - 16 000 Stück Gewinn - 3,40 Mio. DM Arbeitsplätze - 660 Arbeiter

Wieder haben die Vorstandsmitglieder anzugeben, ob sie diese Lösung akzeptieren oder welche Modifizierung sie wünschen. Es sei angenommen, eine Erhöhung des Anteils des gewinnträchtigen Produktes sei erwünscht und zwar auf 10 000 Stück. Diese Zahl wird in den Rechner eingegeben und es erscheint als weitere Kompromißlösung: 3. Lösung (L3 in Abbildung 2) Produktion a - 10 000 Stück Produktion b - 7 750 Stück Gesamt - 17 750 Stück Gewinn - 4,775 Mio. DM Arbeitsplätze - 565 Arbeiter

Schließlich gibt es dann noch eine vierte Lösungsmöglichkeit: Der Vorstand sei der Meinung, daß zwar der erwartete Gewinn dieser Lösung akzeptabel sei, dieser jedoch zugunsten von mehr Arbeitsplätzen geringfügig geschmälert werden sollte. Diese Forderung geht in das Rechenprogramm ein und führt zu einer vierten Kompromißlösung, die folgendermaßen lautet: 4. Lösung (L4 in Abbildung 2) Produktion a - 8 400 Stück Produktion b - 92 000 Stück Gesamt - 17.600 Stück Gewinn - 4,28 Mio. DM Arbeitsplätze - 636 Arbeiter

Wenn dieses Ergebnis von den Vorstandsmitgliedern akzeptiert wird, ist das Entscheidungsproblem damit gelöst. Ist das nicht der Fall, wird der Mensch-Maschine-Dialog solange fortgeführt, bis ein akzeptabler Kompromiß vorliegt. Wenn man feststellt, daß keine allseits befriedigende Lösung zu erreichen ist, dann muß versucht werden, durch geeignete Maßnahmen das Entscheidungsfeld zu erweitern oder aber die Zielrichtung zu revidieren. Anschließend wird der Optimierungsprozeß mit den modifizierten Daten wiederholt.

Zusammenfassung

In der Praxis sind die Entscheidungsprobleme natürlich wesentlich komplexer als das geschilderte Beispiel und die Lösungsmethoden der Vektor-Optimierung etwas umfangreicher. Deshalb sehen die entsprechenden Computerprogramme weitere Entscheidungshilfen für den Anwender vor. So werden dem Entscheidungsträger zum Beispiel Sensitivitätsanalysen angeboten, die ihm die jeweiligen Auswirkungen verschiedener Zielvorgaben vor Augen führen, und zwar entweder durch graphische Darstellung auf Bildschirm oder Plotter oder aber durch numerische Darstellung. Damit wird dem Entscheidungsträger die Frage beantwortet, wie stark sich eine Zielwertänderung überhaupt auf seine anderen Ziele auswirkt; oder andersherum gefragt: In welchem Ausmaß muß eine Zielvorstellung revidiert werden, um einem anderen Ziel überhaupt näher zu kommen? So ist in unserem Beispiel bei einem Vergleich der zweiten und vierten Lösung ein bedeutender Zuwachs (+ 26 Prozent) an Gewinn nur mit einem relativ geringen Arbeitsplatzverlust ( 4 Prozent) erkauft worden: Eine Information, die von wesentlicher Relevanz für den Entscheidungsträger bei der Frage ist, in welcher Richtung eine Kompromißbereitschaft den größten Nutzen erbringt. Durch Einsatz der Vektor-Optimierung braucht der Entscheidungsträger die vom Rechenprogramm angebotenen Kompromißlösungen nicht auf Optimalität hin zu überprüfen, sondern kann eine Bewertung der Alternativen allein gemäß seinen Zielvorstellungen vorsehen. Die auch als Pareto-Optimalität bezeichnete Eigenschaft einer Alternative mag als selbstverständlich erscheinen: Sie muß so gut sein, daß eine Verbesserung in einem Zielwert nur noch zu Lasten eines anderen Zieles möglich ist; sonst ist die Lösung irrelevant. Jedoch reicht bei komplizierteren Entscheidungsproblemen das menschliche Urteilsvermögen in der Regel nicht aus, eine während des Entscheidungsprozesses vorgelegte Alternative daraufhin zu überprüfen, ob sie diese Bedingung erfüllt. Die hier angesprochenen Methoden des Operations Research zur Überwindung von Zielkonflikten haben jedoch die wertvolle Eigenschaft, daß sie ausschließlich pareto-optimale Alternativen errechnen. Ein weiterer Vorteil dieser Optimierungsmethode ist zweifellos, daß in jeder Phase das "menschliche Element" enthalten ist: Es kommt keine neutrale maschinelle Lösung zustande, sondern subjektive Gewichtungen der einzelnen Entscheidungsträger, und auch ihre individuellen Machtpositionen bleiben erhalten und können direkt in den Lösungsprozeß eingehen. Das Rechenverfahren sorgt lediglich dafür, daß subjektive Zielvorstellungen dann auch zu wirklich optimalen Lösungen führen.

Thomas Laukamm
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